Thursday, July 11, 2019

``Logo Mitsubishi'' dalam ``Daun-daun'' Busur pada Segitiga Sama Sisi

Anda tahu, pada setiap objek geometris yang istimewa selalu memunculkan keistimewaan lainnya. Begitu pun pada segitiga istimewa, yaitu segitiga sama sisi. Dalam lukisannya nanti akan Anda ketahui dan rasakan. Gambar di samping merupakan lintasan-lintasan (paths) dari busur-busur pada segitiga sama sisi. Sekilas mengingatkan Anda pada logo Mitsubishi, bukan?
Pada dasarnya Anda hanya perlu menemukan keistimewaan dari garis-garis tinggi pada segitiga itu kemudian dipadukan dengan kecakapan Anda dalam menggambar busur-busur itu. Unsur-unsur yang perlu Anda perhatikan dalam menggambar busur adalah pusat, koordinat awal, sudut awal, sudut akhir, dan jari-jari.
(koordinat awal) arc(sudut awal:sudut akhir:jari-jari)

Perhitungan

Misalkan segitiga sama sisi Anda adalah $\triangle ABC$ dengan panjang sisi $a$ satuan.
Misalkan pula bahwa $D$, $E$, $F$ berturut-turut adalah titik-titik tengah dari sisi-sisi $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, dan $\overline{AC}$, maka 
\[AD=DB=BE=EC=CF=FA=\frac{a}{2}\] 
Kemudian misalkan $O$ sebagai titik berat atau pusat dari $\triangle ABC$. Dapat Anda gunakan Dalil Pythagoras untuk menemukan bahwa panjang garis tinggi
\[t=CD=BF=AE=\frac{a}{2}\sqrt{3}\]
dan pada tiap garis berat $\overline{AE}$, $\overline{BF}$, $\overline{CD}$ memenuhi perbandingan
\[AO:OE=BO:OF=CO:OD=2:1\]
Anda juga tahu bahwa $\overleftrightarrow{AL}$, $\overleftrightarrow{BM}$, dan $\overleftrightarrow{CK}$ sekaligus merupakan garis berat, garis tinggi, dan garis bagi sudut pada $\triangle ABC$ itu. Ruas-ruas gari $\overline{AL}$, $\overline{BM}$, $\overline{CK}$ masing-masing terbagi menjadi empat bagian sama panjang sejarak sepertiga dari tinggi $\triangle ABC$, yaitu $\frac{1}{3}t$. Perhatikan bahwa, dalam konstruksi ini, titik-titik $K$, $L$, dan $M$ merupakan pusat-pusat dari busur lingkaran besar sedangkan titik-titik $X$, $Y$, dan $Z$ merupakan pusat-pusat dari busur lingkaran kecil. Dengan demikian jari-jari busur lingkaran besar adalah $R=\frac{2}{3}t$ dan jari-jari busur lingkaran kecil adalah $r=\frac{1}{3}t$. Anda juga melihat dua segienam beraturan besar dan kecil, bukan? Jelaslah bahwa jarak dari kedua titik ujung pada setiap busur itu adalah $120^\circ$.


Lukisan

Mula-mula Anda tetapkan dulu panjang sisi segitiga sama sisi itu, misalnya $3\,\textrm{cm}$ kemudian tetapkanlah panjang garis tinggi dan panjang jari-jari lingkaran besar dan kecilnya.
\def\a{3} % panjang sisi segitiga (terserah Anda)
\pgfmathsetmacro{\t}{\a/2*sqrt(3)} % ketinggian segitiga
\pgfmathsetmacro{\r}{1/3*\t} % jari-jari kecil
\pgfmathsetmacro{\R}{2/3*\t} % jari-jari besar
Sekarang Anda akan menggambar ``tiga daun kecil''. Dalam contoh ini digunakan warna Tan dari dvipsnames dalam paket xcolor. Oleh karena itu lebih dulu cantumkan (sebelum pencantuman paket tikz) pada mukadimah paket xcolor beserta opsinya sebagai berikut.
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
Karena berkaitan dengan dengan penggunaan besar sudut, penulis ajak Anda untuk menyatakan koordinat dari tiap titik dalam koordinat kutub. Misalkan Anda akan memulainya dari titik $D$. Jika titik $A$ Anda tetapkan terletak pada koordinat $(0:0)$ maka koordinat untuk titik $D$ adalah $(0:\{\backslash a/2\})$ (karena panjang sisi segitiga ditetapkan oleh $\backslash a$). 
\draw[Tan] (0:{\a/2}) arc(-30:90:\r) arc(210:330:\r) arc(90:210:\r);
Dari $D$, dengan pusat $X$, Anda berangkat dari sudut $-30^\circ$ menuju ($+120^\circ$) sudut $90^\circ$ hingga Anda menempati titik $F$. Sebelum melanjutkan perjalanan perhatikan bahwa, terhadap pusat $Z$, titik $F$ terletak pada sudut $210^\circ$. Dari $F$ ($+120^\circ$) Anda menuju sudut $330^\circ$ hingga Anda menempati titik $E$. Berpusat di $Y$, titik $E$ terletak pada sudut $90^\circ$. Dari $E$ ($+120^\circ$) Anda menuju sudut $210^\circ$ hingga Anda kembali ke titik $D$.

Nah, sekarang Anda akan menggambar ``tiga daun besar'' dengan mengisi daerahnya oleh warna merah dan menggambar garisnya oleh warna merah juga. 
\draw[thick,Red,fill=Red] (0:0) arc (150:30:\R) arc(270:150:\R) arc (30:-90:\R)--cycle;
Misalkan Anda akan memulainya dari titik $A(0:0)$. Berpusat di $K$, titik $A$ terletak pada sudut $150^\circ$. Dari $A$ ($-120^\circ$, karena searah putar jarum jam) Anda menuju sudut $30^\circ$ hingga Anda menempati titik $B$. Anda melanjutkan perjalanan dengan berpusat di $L$ dan titik $B$ terletak pada sudut $270^\circ$, maka Anda menuju ($-120^\circ$) sudut $150^\circ$ hingga Anda menempati titik $C$. Berpusat di $Y$, titik $E$ terletak pada sudut $90^\circ$. Dari $E$, dengan berpusat di $M$, Anda akan mengakhiri perjalanan hingga kembali ke titik $A$. Titik $C$ kini terletak pada sudut $30^\circ$ maka ($-120^\circ$) perjalanan terakhir Anda menuju sudut $-90^\circ$.

Ringkas, bukan? Dengan demikian Anda akan memperoleh gambar (pertama) di atas.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

No comments:

Post a Comment

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...