Thursday, July 18, 2019

Busur dan Lingkaran dalam Segienam

Kali ini Anda melihat suatu segienam beraturan $ABCDEF$. Berpusat di titik $A$, titik $B$ dan $F$ dihubungkan oleh suatu busur. Kemudian ada suatu lingkaran yang menyinggung busur itu dan menyinggung pula pada kedua diagonal $\overline{BD}$ dan $\overline{FD}$. Misalkan luas daerah juring $ABF$ adalah $a$ dan luas daerah lingkaran itu adalah $B$, tentukan nilai perbandingan $a:b$.
Perlihatkan diagonal-diagonal $\overline{AD}$, $\overline{BE}$, $\overline{CF}$, $\overline{BF}$, dan $\overline{CE}$. Dengan mengingat keistimewaan bangun segienam beraturan dengan bagian-bagiannya yang berbentuk segitiga sama sisi, mudah untuk mengetahui bahwa $\measuredangle DBA=90^\circ$, bukan? Kemudian misalkan pusat dari lingkaran itu adalah titik $O$ dan pusat dari segienam itu adalah titik $P$. Jelas bahwa diagonal $\overline{AD}$ melalui $O$ dan $P$ dan $\overline{AD}\cap\overparen{BF}\equiv P$. Misalkan titik singgung lingkaran $O$ pada $\overline{BD}$ adalah $G$ maka $\overline{OG}\perp\overline{BD}$. Dengan demikian Anda menemukan dua segitiga yang sebangun, yaitu $\triangle ABD$ dan $\triangle OGD$. 
Sekarang misalkan panjang jari-jari juring itu adalah $R$ dan panjang jari-jari lingkaran itu adalah $r$. 
Anda tahu bahwa
\begin{align*}
AB &= R = AP = DP\\
AD &= 2R\\
OG &= r\\
OD &= R-r
\end{align*}

sehingga (karena $\triangle ABD\sim\triangle OGD$)
\begin{align*}
\frac{OD}{AD} &= \frac{OG}{AB}\\
\frac{R-r}{2R} &= \frac{r}{R}\\
R-r &= 2r\\
R &= 3r
\end{align*}

Mengingat $\measuredangle BAF=120^\circ$ maka perbandingan luas daerah juring $ABF$ dan luas daerah lingkaran $O$ adalah
\begin{align*}
a:b &= \tfrac{1}{3}\pi R^2:\pi r^2\\
&= \tfrac{1}{3}\pi(3r)^2:\pi r^2\\
&= 3\pi r^2:\pi r^2\\
&= 3:1
\end{align*}


Lukisan

Akan lebih mudah untuk Anda jika Anda menetapkan koordinat-koordinat untuk gambar Anda dalam bentuk koordinat kutub. Letakkan saja pusat segienam itu, yaitu titik $P$, pada koordinat $(0,0)$. Kemudian, misalnya, Anda ambil panjang sisi segienam itu $4\,\rm{cm}$. Sekarang dapat Anda siapkan lingkup perintah gambar tikz-nya. Mula-mula tetapkan ukuran kedua jari-jarinya,
\def\R{4} % nilainya tanpa memuat operasi aljabar
\pgfmathsetmacro{\r}{\R/3} % nilainya memuat operasi aljabar
Kemudian Anda tetapkan koordinat-koordinat untuk pusat lingkaran, pusat segienam, dan titik-titik sudut pada segienam itu, (perhatikan cara menetapkannya dalam koordinat kutub)
\coordinate (O) at (180:\r);
\coordinate (P) at (0:0);
\coordinate[label=right:$A$] (A) at (0:\R);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (60:\R);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (120:\R);
\coordinate[label=left:$D$] (D) at (180:\R);
\coordinate[label=below:$E$] (E) at (240:\R);
\coordinate[label=below:$F$] (F) at (300:\R);
Nah, sekarang perhatikan hal penting berkenaan dengan koordinat titik singgung antardua kurva. Anda dapat saja menetapkan koordinat $G$ sebagai proyeksi $O$ pada $\overline{BD}$ oleh
\coordinate (G) at ($(B)!(O)!(D)$);
tetapi ketika Anda gambar ruas garis $\overline{CE}$ maka ruas garis itu tidak tepat melalui titik $G$. Oleh karena itu, dalam hal titik singgung, gambar Anda akan tepat bila Anda menetapkannya oleh perintah \node. Ingat bahwa ketika Anda membuat garis singgung terhadap suatu lingkaran dari suatu titik di luar lingkaran itu maka Anda selalu dapat membuat dua garis singgung (yang berarti bahwa Anda memperoleh dua titik singgung). Dalam lukisan ini Anda hanya (yang diperlukan) menetapkan satu koordinat titik singgung saja. 
Tetapkan lingkaran itu, sebutlah $L$, selebar $2r$ pada node di $O$.
\node[circle,minimum width=2cm*\r] (L) at (O) {};
Tetapkan koordinat titik singgungnya, sebutlah $G$, pada lingkaran $L$ oleh suatu garis singgung yang ditarik dari titik $B$ (dalam hal ini sebagai titik singgung 1), 
\coordinate (G) at (tangent cs:node=L,point={(B)},solution=1);
Selanjutnya Anda akan memulai untuk menampilkan bagian-bagian dari gambar. Lebih dulu isikan warna pada daerah juring dan lingkaran itu,
\fill[purple!50!green,opacity=.4] (B) arc(120:240:\R)--(A) --cycle (O) circle (\r);
lalu gambar juring dan lingkaran itu,
\draw[semithick] (B) arc(120:240:\R) (O) circle (\r);
dan, terakhir, Anda gambar sisi-sisi segienam itu beserta kedua diagonalnya itu,
\draw[semithick] (A)--(B) edge(D) --(C)--(D) edge(F) --(E)--(F)--cycle;
Edge itu semacam percabangan ruas garis dari suatu koordinat (ke koordinat lainnya) pada rangkaian utama koordinat-koordinat pembentuk suatu path
Akhirnya Anda peroleh gambar seperti tampak pada gambar (pertama) di atas. Nah, silakan dinikmati dan semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

No comments:

Post a Comment

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...