Saturday, July 6, 2019

Controls: Benda Putar dari Daerah di Bawah Kurva #1

Anda tahu, ini tentang bagian dari materi Integral pada mata pelajaran Matematika di sekolah menengah. Bahwa jika daerah yang dibatasi oleh suatu kurva, sumbu $X$, dan dua garis di kiri-kanannya diputar mengelilingi sumbu $X$ sejauh $360^\circ$ maka akan menghasilkan suatu benda putar (seperti tampak pada gambar di samping ini). Bila daerah dimaksud diapit oleh dua kurva maka benda putar yang dihasilkan ``memiliki ketebalan''.
Selain mengelilingi sumbu $X$, orientasi pemutaran dapat pula mengelilingi sumbu $Y$. Dalam tulisan ini Anda akan membuat salah satunya, yaitu pemutaran daerah tersebut mengelilingi sumbu $X$. 
Dalam lukisan ini, sebagai contoh, gambar kurva atau garis lengkung itu bukanlah grafik dari suatu persamaan fungsi melainkan berasal dari suatu garis lurus yang menghubungkan dua koordinat dengan dilengkungkan pada dua koordinat sebagai ``titik kendali'' (controls). Silakan Anda lihat kembali tulisan ini. Pasangan dari garis lengkung itu Anda buat dari dua koordinat tersebut dengan ``menukarkan'' urutan dan ordinat dari kedua koordinat kendalinya, atau dengan proses pencerminan dalam lingkup perintah scope. Pada bagian kanan Anda menggambar elips atau lingkaran dengan menetapkan dua jari-jari yang berbeda ukuran (kecil-ke samping dan besar-ke atas). Pada bagian kiri, hampir sama, Anda menggambar busur dengan dua jari-jari yang berbeda ukuran. 
Bagaimana dengan ``bayang-bayang berkilau'' itu?
Dalam path tertutup yang terdiri dari dua garis lengkung dan dua busur Anda gunakan opsi shading=ball dengan warna tertentu. Kemudian untuk menunjukkan bagian tengah yang kosong dari benda putar itu Anda juga gunakan pewarnaan opsi shading dengan top color dan bottom color.


Lukisan

Anda mulai dengan satu kurva. Lebih dulu Anda tunjukkan satu kurva dan daerah di bawahnya yang dibatasi oleh kurva itu, sumbu $X$, garis $x=a$, dan garis $x=b$, dengan $a<b$.
Untuk, secara sebarang, menunjukkan (gambar) kurva $y=f(x)$ itu Anda tetapkan dua koordinat kemudian di antara keduanya Anda lengkungkan oleh perintah controls pada dua koordinat tertentu yang menghasilkan gambar yang baik. Ini bersifat manual dan coba-coba (try and error).
(<koordinat1>) .. controls (<koordinat pelengkung1>) and (<koordinat pelengkung2>) .. (<koordinat2>)
Dapat Anda nyatakan, misalnya
\draw[thick] (.5,.66) .. controls (2,1.6) and (3,1.6) .. (5,.94) node[right] {$y=f(x)$};
Anda menggambar ruas garis yang menghubungkan dua koordinat $(.5,.66)$ dan $(5,.94)$ dan dilengkungkan pada dua koordinat $(2,1.6)$ dan $(3,1.6)$ sehingga terbentuk kurva lengkung dalam interval $0.5\le x\le5$ seperti tampak dalam gambar di atas. 
Untuk memperoleh gambar kurva (dalam garis putus-putus) di bawahnya, Anda cerminkan kurva itu pada sumbu $X$. Ada dua pilihan untuk melakukan itu, Anda gunakan kembali perintah \draw itu dengan menetapkan nilai-nilai ordinatnya dalam tanda negatif 
\draw[densely dashed] (.5,-.66) .. controls (2,-1.6) and (3,-1.6) .. (5,-.94) ;
atau secara langsung menggunakannya kembali dalam lingkup perintah scope dengan menetapkan nilai ordinat negatif dalam opsinya sebagai berikut.
\begin{scope}[x={(1cm,0cm)},y={(0cm,-1cm)}]
\draw[densely dashed] (.5,.66) .. controls (2,1.6) and (3,1.6) .. (5,.94);
\end{scope}
Misalkan daerah di bawah kurva (yang diarsir) itu akan Anda tetapkan dalam interval $0.75\le x\le 4.5$ maka Anda gambar elips dan ruas garis pembatas pada $x=0.75$ dan $x=4.5$. Elips dapat digambar sebagai lingkaran dengan menetapkan dua jari-jari ke arah kanan (kecil) dan ke arah atas (besar). Pada kedua absis itu dapat Anda gambar kedua elips itu sebagai
\draw[densely dashed] (.75,0) circle (.25 and .8) (4.5,0) circle (.4 and 1.1);
dan kedua ruas garis pembatas kiri-kanannya sebagai
\draw (.75,1.5)--(.75,-1.5) node[below] {$x=a$};
\draw (4.5,1.5)--(4.5,-1.5) node[below] {$x=b$};
Sekarang Anda akan melakukan pengarsiran pada daerah dimaksud. Tentu saja harus Anda dukung oleh kepustakaan patterns pada mukadimahnya.
\usetikzlibrary{patterns}
Perhatikan bahwa semula garis lengkung itu digambar dalam interval $0.5\le x\le5$ tetapi lintasan (path) garis lengkung yang membatasi daerah itu berada dalam interval $0.75\le x\le4.5$. Hal itu berakibat pada perubahan nilai ordinat pada kedua koordinat pelengkungnya. Anda dapat mengarsir daerah itu oleh perintah
\path[pattern=north east lines,pattern color=darkgray] (.75,.8) .. controls (2,1.55) and (3,1.55) .. (4.5,1.1)--(4.5,0)--(.75,0)--cycle;
Bagaimana cara menggambar tanda panah yang menunjukkan arah pemutaran kurva itu?
Pada dasarnya Anda menggambar busur elips di antara dua sudut, tetapi secara teknis busur elips itu dapat Anda letakkan di mana pun yang Anda inginkan. Oleh karena itu lebih dulu Anda tetapkan (dalam mukadimah) gambar busur elips itu sebagai (misalnya)
\newcommand{\putar}[1][rotate=0]{%
\tikz[x=0.25cm,y=0.60cm,-stealth,#1] \draw (0,0) arc (30:330: .5 and .5);%
}
Barulah Anda dapat meletakkan pada suatu koordinat tertentu oleh perintah \node. Misalnya
\node[midway,shift={(5.5,0)}] at (5.5,0) {\putar};
Dengan mempertimbangkan batasan (interval) nilai $x$ pada gambar Anda, kedua sumbu koordinat dapat Anda gambar oleh
\draw[-stealth] (-1,0)--(6,0) node[right]{$X$};
\draw[-stealth] (0,-2)--(0,2) node[above]{$Y$};
Dengan demikian Anda peroleh gambar seperti tampak pada gambar di atas.
Kini (gambar kedua) Anda akan membuat ``gambar tiga dimensi'' dengan bayang-bayang (shading) seperti tampak pada gambar berikut ini.
Unsur-unsur gambar tikz di atas Anda gunakan kembali. Hanya saja, seperti Anda lihat, kedua garis lengkung, busur elips, dan elips itu Anda gambar utuh (tidak ada garis putus-putus). 
Kedua garis lengkung atas dan bawah Anda gambar oleh
\draw[thick] (.5,.8) .. controls (2,1.6) and (3,1.6) .. (4.5,1.1);
\begin{scope}[x={(1cm,0cm)},y={(0cm,-1cm)}]
\draw[thick] (.5,.8) .. controls (2,1.6) and (3,1.6) .. (4.5,1.1);
\end{scope}
Busur elips (kiri) dan elips (kanan) Anda gambar oleh
\draw[thick] (.5,-.8) arc (270:90:.2 and .8) (4.5,0) circle (.3 and 1.1);
Nah, sekarang perhatikan cara untuk membuat ``bayang-bayang berkilau'' itu. Mula-mula Anda berdiri pada koordinat kiri-atas, kemudian Anda menyusuri garis lengkung (atas) lalu belok untuk menyusuri busur elips (kanan), belok lagi untuk menyusuri garis lengkung (bawah), dan akhirnya Anda menyusuri busur elips (kiri) hingga kembali ke koordinat semula. Lintasan Anda itu Anda isi oleh shading=ball dengan warna tertentu. 
\path[shading=ball,ball color=darkgray!60!olive] (.5,.8) .. controls (2,1.6) and (3,1.6) .. (4.5,1.1) arc (90:270:.3 and 1.1) .. controls (3,-1.6) and (2,-1.6) .. (.5,-.8) arc (270:90: .2 and .8);
Terakhir Anda ``menandai lubang'' pada daerah elips (kanan). Anda berikan bayang-bayang dengan opsi top color dan bottom color dalam warna tertentu.

\path[top color=darkgray!60!olive,bottom color=white] (4.5,0) circle (.3 and 1.1);
Hasilnya akan tampak seperti pada gambar di atas.
Demikianlah, agar tidak terlalu panjang, Anda cukupkan untuk lukisan tentang pemutaran daerah di bawah satu kurva dulu. Untuk pemutaran daerah di antara dua kurva dapat Anda temukan dalam tulisan bagian kedua setelah ini.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

No comments:

Post a Comment

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...