Wednesday, June 19, 2019

PgfMathSetMacro: Menggambar dengan Perhitungan yang Tepat

Kali ini Anda akan menggambar berdasarkan soal berikut ini. 
Perhatikan Gambar 1. Setengah lingkaran dan dua lingkaran yang saling singgung, dengan jari-jari berturut-turut $5$, $4$, dan $3$ satuan, terletak di dalam segitiga $ABC$ siku-siku di $A$. Tentukanlah luas daerah $\triangle ABC$ itu.
Sekarang lebih dulu mari kita berhitung. Jika Anda letakkan titik $A$ pada koordinat $(0,0)$ maka dengan mudah Anda peroleh pusat dari setengah lingkaran $Q$ pada koordinat $(0,5)$. Lalu bagaimana menemukan koordinat dari lingkaran $O$ dan lingkaran $P$?
Perhatikan bahwa alas $\triangle ABC$, yaitu $\overleftrightarrow{AC}$, berimpit dengan sumbu $X$ dan garis tingginya, yaitu $\overleftrightarrow{AB}$, berimpit dengan sumbu $Y$. Proyeksikan titik $O$ pada alasnya sehingga diperoleh titik $R$ dan proyeksikan titik $O$ pada garis tingginya sehingga diperoleh titik $M$. Anda peroleh $\triangle OMQ$ siku-siku di $M$, dengan $OQ=9$ dan $MQ=1$ sehingga $MO=\displaystyle\sqrt{80}=4\sqrt{5}$. Dengan demikian koordinat $O$ adalah $\displaystyle\left(4\sqrt{5},4\right)$. 
Sekarang proyeksikan titik $P$ pada alas segitiga itu sehingga diperoleh titik $S$ dan garis proyeksinya memotong $\overleftrightarrow{OM}$ di titik $T$. Perhatikan bahwa garis $\overleftrightarrow{RO}$ menyinggung lingkaran $P$ (mengapa?), sehingga pada $\triangle OPT$ siku-siku di $T$ Anda peroleh $OP=7$, $OT=3$, dan $PT=\displaystyle\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. Dengan demikian koordinat titik $P$ adalah $\displaystyle\left(4\sqrt{5}-3,4+2\sqrt{10}\right)$. 

Lalu bagaimana menemukan koordinat titik $C$?
Perhatikan layang-layang $RCKO$ dengan $\measuredangle OCR=\measuredangle KCO=\theta$ (mengapa?), sehingga $\measuredangle BAC=2\theta$. 
Perhatikan bahwa $\overleftrightarrow{PN}$ sejajar dengan $\overleftrightarrow{BC}$, sehingga jika titik $O$ digeser pada garis $\overleftrightarrow{MO}$ sedemikian sehingga terletak pada garis $\overleftrightarrow{PN}$ maka $\measuredangle POM=\measuredangle BAC=2\theta$, bukan? Itu menunjukkan bahwa \[\alpha+\beta-\gamma=2\theta\]
Dari $\triangle OMQ$, $\triangle OPQ$ (melalui Aturan Kosinus), dan $\triangle OPN$ Anda peroleh 
\begin{align*}
\tan\alpha &= \frac{1}{4\sqrt{5}}\\
\tan\beta &= \frac{8\sqrt{5}}{11}\\
\tan\gamma &= \frac{1}{4\sqrt{3}}
\end{align*}
Kemudian dengan menggunakan rumus tangen untuk jumlah (atau selisih) dua sudut dan rumus tangen untuk sudut tengahan Anda peroleh
\begin{align*}
\tan2\theta &= \tan(\alpha+\beta-\gamma)=\frac{76\sqrt{5}-36\sqrt{3}}{71}\\
\tan\theta &= \frac{6\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{11}
\end{align*}
sehingga
\begin{align*}
RC &= \frac{OR}{\tan\theta}=3\sqrt{3}+\sqrt{5}\\
AC &= 3\sqrt{3}+5\sqrt{5}\\
AB &= AC\cdot\tan2\theta=\frac{1576+48\sqrt{15}}{71}
\end{align*}

Dengan demikian koordinat titik $C$ adalah $\left(3\sqrt{3}+5\sqrt{5},0\right)$ dan koordinat titik $B$ adalah $\left(0,\frac{1576+48\sqrt{15}}{71}\right)$


Lukisan


Nah, sekarang Anda telah siap untuk menggambarnya dalam gambar tikz. Anda memerlukan dukungan paket dan kepustakaan tikz,
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
Berikutnnya, ini dia, untuk memudahkan dan meringkas penulisan kode, nilai-nilai yang memuat operasi dari bentuk-bentuk akar itu ditetapkan lebih dulu oleh perintah \pgfmathsetmacro. Berikut ini perintah-perintah dalam penetapan nilai absis titik $O$, absis titik $P$, ordinat titik $P$, absis titik $C$, dan ordinat titik $B$.
\pgfmathsetmacro\xo{4*sqrt(5)}
\pgfmathsetmacro\xp{4*sqrt(5)-3}
\pgfmathsetmacro\yp{4+2*sqrt(10)}
\pgfmathsetmacro\xc{5*sqrt(5)+3*sqrt(3)}
\pgfmathsetmacro\yb{(1576+48*sqrt(15))/71}
Dengan demikian, dalam gambar tikz, dapat Anda tetapkan koordinat dari titik-titik itu sebagai berikut. 
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below left:] (O) at (\xo,4);
\coordinate[label=above:] (P) at (\xp,\yp);
\coordinate[label=left:] (Q) at (0,5);
\coordinate[label=below:] (R) at (\xo,0);
\coordinate[label=right:$C$] (C) at (\xc,0);
\coordinate[label=above:$B$] (B) at (0,\yb);
Untuk menetapkan koordinat dari titik $K$, $M$, $L$, $N$, $S$ sebagai proyeksi dari titik $O$ dan $P$ Anda nyatakan
\coordinate[label=above right:] (K) at ($(B)!(O)!(C)$);
\coordinate[label=left:] (M) at ($(B)!(O)!(A)$);
\coordinate[label=above right:] (L) at ($(B)!(P)!(C)$);
\coordinate[label=below right:] (N) at ($(O)!(P)!(K)$);
\coordinate[label=below:] (S) at ($(A)!(P)!(C)$);
Sedangkan untuk koordinat titik $T$ Anda berjalan dari $O$ ke arah $M$ sejauh $3\textrm{cm}$, maka Anda tetapkan
\coordinate[label=below right:] (T) at ($(O)!3cm!(M)$);
Sekarang Anda gambar setengan lingkaran $Q$ oleh
\draw[thick] (0,10) arc(90:-90:5);
lingkaran $O$ dan lingkaran $P$ oleh 
\draw[thick] (O) circle (4) (P) circle (3);
dan, terakhir, $\triangle ABC$ oleh
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--cycle;

Bagaimana asyik, bukan?
Bagaimana pula dengan jawaban dari soal di atas? Anda dapat menemukannya, bukan?
Ya, karena $AB= AC\cdot\tan2\theta$ maka luas daerah $\triangle ABC$ itu adalah
\[ [ABC]=\tfrac{1}{2}\cdot AC^2\cdot\tan2\theta=\frac{4\left(741\sqrt{3}+1039\sqrt{5}\right)}{71}\]Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

No comments:

Post a Comment

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...