Tuesday, March 5, 2019

Tiga Lingkaran Identik Bersinggungan

Visualisasi sering kali diperlukan ketika Anda bekerja dalam masalah geometri analitis. Bahwa masalah tersebut akan menjadi tampak lebih ``nyata''. Perhatikan masalah berikut ini.
Tiga lingkaran berdiameter sama dan saling bersinggungan. Persamaan lingkaran pertama dan kedua adalah $x^2+10x+y^2+2y+10=0$ dan $x^2-6x+y^2+2y-6=0$. Persamaan lingkaran yang ketiga adalah .... 
  1. $(x-1)^2+\left(y+1+3\sqrt{3}\right)^2=4^2$
  2. $(x+1)^2+\left(y+1-4\sqrt{3}\right)^2=4^2$
  3. $(x+2)^2+\left(y+1+4\sqrt{3}\right)^2=4^2$
  4. $(x-2)^2+\left(y+2-4\sqrt{3}\right)^2=4^2$
  5. $(x-2)^2+\left(y+2+3\sqrt{3}\right)^2=4^2$
Anda akan menampilkan visualisasi untuk jawaban terhadap masalah tersebut dengan menggunakan paket tikz. Kecakapan utamanya sangat sederhana, Anda hanya diminta untuk menggambar lingkaran ketika diketahui koordinat titik pusat dan panjang jari-jarinya. Selebihnya Anda menggambar ruas-ruas garis dan memberikan penamaan.
Jawaban untuk masalah tersebut Anda mulai dengan mengingat bentuk umum dari persamaan lingkaran berjari-jari $r$ dan berpusat di $(a,b)$ sebagai \[x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0\] Dengan demikian lingkaran pertama dapat dinyatakan sebagai \[x^2+y^2-2(-5)x-2(-1)y+(-5)^2+(-1)^2-r^2=0\] sehingga \begin{align*}(-5)^2+(-1)^2-r^2&=10\\25+1-r^2&=10\\26-r^2&=10\\r^2&=16\\r&=4\end{align*}Berarti lingkaran pertama berjari-jari $4$ satuan dan berpusat di $(-5,-1)$. 
Lingkaran kedua juga berjari-jari sama, yaitu $4$ satuan. Untuk mengetahui koordinat pusatnya, Anda nyatakan persamaan lingkaran kedua sebagai \[x^2+y^2-2(3)x-2(-1)y+(3)^2+(-1)^2-r^2=0\] sehingga diperoleh pusatnya adalah titik $(3,-1)$. Perhatikan gambar. Hingga di sini Anda sudah dapat melukis lingkaran pertama ($A$) dan lingkaran kedua ($B$). Lingkaran ketiga haruslah menyinggung lingkaran $A$ dan $B$, maka pusat lingkaran ketiga itu adalah titik $C$ atau $D$. Kemudian karena $AB=BC=CA=8$ satuan maka $\triangle ABC$ sama sisi sehingga $\measuredangle ABC=60^\circ$. Garis singgung $\overleftrightarrow{CM}\perp\overline{BM}$ maka $\triangle BMC$ siku-siku di $M$, sehingga\begin{align*}CM&=BC\times\sin60^\circ\\&=8\times\tfrac{1}{2}\sqrt{3}\\&=4\sqrt{3}\end{align*}Karena $A(-5,-1)$, $B(3,-1)$, dan $M$ titik tengah $\overline{AB}$ maka $M(-1,-1)$. Dengan demikian koordinat titik $C$ adalah $\left(-1,-1-4\sqrt{3}\right)$ dan koordinat titik $D$ adalah $\left(-1,-1+4\sqrt{3}\right)$. Jadi lingkaran ketiga berpusat di $\left(-1,-1-4\sqrt{3}\right)$ dan berjari-jari $4$ satuan, dengan persamaan (dalam bentuk baku)\begin{align*}(x-(-1))^2+\left(y-\left(-1-4\sqrt{3}\right)\right)^2&=4^2\\(x+1)^2+\left(y+1+4\sqrt{3}\right)^2&=4^2\end{align*}atau berpusat di $\left(-1,-1+4\sqrt{3}\right)$ dan berjari-jari $4$ satuan, dengan persamaan\begin{align*}(x-(-1))^2+\left(y-\left(-1+4\sqrt{3}\right)\right)^2&=4^2\\(x+1)^2+\left(y+1-4\sqrt{3}\right)^2&=4^2\end{align*}

Konstruksi Gambar

Bukanlah gambar yang sulit, hanya saja mungkin perlu penjelasan dalam beberapa hal. Pada mukadimah, beberapa warna (lihat baris 3 s.d. 6) saya pinjam dari sana. Kepustakaan tikz angles mendukung perintah \pic dalam menandai sudut. Paket amssymb mendukung perintah \measuredangle untuk menyatakan besar sudut.
Pada badan dokumen/isi naskah, perhatikan cara menetapkan warna untuk latar halaman (lihat baris 13), cara menetapkan koordinat (lihat baris 15 s.d. 18), cara menandai sudut siku-siku (lihat baris 21), cara menandai dan menamai ukuran sudut (lihat baris 24), dan cara membuat noktah untuk beberapa titik sekaligus (lihat baris 29 dan 30).


Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2019

No comments:

Post a Comment

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...