Monday, March 27, 2017

Bermain Sudut

Pengantar

Anda pernah menemukan gambar seperti itu, bukan?
Tentu, mudah ditebak, masalah yang bertalian dengan gambar tersebut adalah perhitungan besar sudut dan yang ditanyakan adalah nilai sudut $\beta=\measuredangle{HAG}$. Dengan menggunakan algoritme dalam perhitungan secara aljabar kita akan menemukan bahwa $\beta=10^\circ$. Lalu bagaimana kita dapat membuat gambar tersebut?
Tampak diketahui bahwa $\triangle{ABC}$$\triangle{BDC}$$\triangle{CDE}$$\triangle{DFE}$$\triangle{EFG}$, dan $\triangle{FHG}$ masing-masing berupa segitiga sama kaki dan tiap pasang kaki yang sama panjang itu berukuran sama pada semua segitiga tersebut meskipun secara "tipuan mata" (optical illusion) tampak "janggal" untuk dikatakan sama panjang.
Kembali saya gunakan paket TikZ untuk membuat gambar tersebut. Dengan dukungan dari kepustakaan decorations.markings dan pewarnaan oleh paket xcolor dalam opsi x11names, saya gunakan makro berikut ini untuk menandai tiap kaki segitiga yang sama panjang itu. 



Menggambar Kaki Sudut A

Menunjukkan besar sudut $\beta=10^\circ$ secara visual akan menampakkan bagian cakupan-dalam sudut (interior angle) yang terlalu sempit. Oleh karena itu diperlukan suatu trik, dengan mengatur skala yang memadai, agar gambarnya tampak baik. Dalam hal ini, pada opsi gambar TikZ, saya atur skala dan pertemuan antarruas garis sebagai berikut.

Kita mulai menetapkan titik sudut (vertex) $A$ pada titik asal. Kemudian dalam arah mendatar (pada sudut $0^\circ$) kita tetapkan koordinat (sebutlah) $P$ sejarak $15\,\textrm{cm}$ dari $A$, sebagai kaki pertama dari $\angle{A}$. Berikutnya, sebagai kaki kedua dari $\angle{A}$, pada sudut $10^\circ$ kita tetapkan koordinat (sebutlah) $Q$ juga sejarak $15\,\textrm{cm}$ dari $A$. 

Sesuai dengan gambar yang diberikan, kita langsung menamai koordinat $A$ tersebut.


Mengambar Barisan Segitiga Sama Kaki

Karena tiap segitiga itu sama kaki maka dapat kita tetapkan lintasan-lintasan (path-path) lingkaran pada titik-titik $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, dan $G$ dan menetapkan perpotongannya baik terhadap $\overline{AP}$ maupun terhadap $\overline{AQ}$. Dalam hal ini saya tetapkan panjang jari-jarinya $2,5\,\textrm{cm}$. Untuk menetapkan perpotongan dari dua kurva kita memerlukan dukungan dari kepustakaan intersections. Selain itu, agar lintasan dari lingkaran-lingkaran itu tidak menyita bidang halaman maka bidang gambar itu dapat kita batasi dengan menggunakan perintah clip dalam bentuk persegi panjang.

Kita sudah menetapkan koordinat untuk $B$, lintasan untuk $\overline{AP}$, lintasan untuk $\overline{AQ}$, dan lintasan untuk lingkaran berpusat di $B$ yang berjari-jari $2,5\,\textrm{cm}$. Karena lintasan lingkaran diawali pada sudut $0^\circ$ dan dalam arah putar berlawanan dengan arah putar jarum jam, maka lebih dulu lintasan lingkaran itu akan memotong $\overline{AQ}$ dan itulah yang kita perlukan, yaitu menetapkan titik $C$.

Sekarang kita berada di titik $C$. Akan dibuat lingkaran berpusat di $C$ dan berjari-jari $2,5\,\textrm{cm}$. Tentu (dengan pemahaman tadi), terhadap $\overline{AP}$, lintasan lingkaran itu akan lebih dulu memotongnya di $B$ baru kemudian pada suatu titik kedua (ini yang kita perlukan) yang akan kita namai sebagai $D$.

Perhatikan bahwa penetapan kedua titik potong itu berurutan, $T1$ sebagai titik potong pertama dan $D$ sebagai titik potong kedua. Sebenarnya sudah ada $B$ sebagai titik potong pertama itu, tetapi dalam penetapan perpotongan itu tetap harus kita cantumkan (oleh nama lain) keduanya.

Demikianlah dengan cara serupa kita tetapkan lintasan-lintasan lingkaran lainnya untuk titik-titik berikutnya beserta perpotongannya pada salah satu kaki $\angle A$ yang diperlukan.

Nah, dengan menggunakan tiga koordinat terkait untuk membentuk sudut, sekarang kita dapat menandai sudut senilai $\beta$ dan sudut senilai $70^\circ$ itu. Untuk hal ini kita memerlukan dukungan dari kepustakaan angles.

Berikutnya kita akan menandai ruas-ruas garis sebagai kaki-kaki segitiga yang sama panjang. Untuk hal ini kita menetapkannya pada lintasan-lintasan dari tiap ruas garis tersebut.

Akhirnya, sekarang dapat kita gambarkan semua ruas yang tampak pada gambar di atas. (Sebenarnya, untuk sementara, langkah ini dapat kita lakukan sebelum ini. Gambar dari tiap ruas garis dibuat belakangan agar tidak tertimpa oleh penandaan ruas-ruas garis yang sama panjang itu.) 



Penutup

Ketepatan dalam menetapkan titik potong yang diperlukan untuk gambar ini merupakan salah satu kunci dalam membuat gambar tersebut. Hal penting lainnya adalah penggunaan perintah clip untuk membatasi bidang gambar agar tidak meluas, juga imajinasi/penalaran untuk keperluan gambar tersebut.
Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017

No comments:

Post a Comment

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...