Thursday, February 2, 2017

Tembereng pada Layang-layang

Mukadimah

Seorang siswa mengadukan soal seperti tampak pada gambar di samping ini. Menurutnya, soal itu sangat sulit. (Bagaimana menurut Anda?)
Sekilas tampak bahwa busur $CD$ terletak di dalam $\triangle CDE$ dan busur $BC$ terletak di dalam $\triangle BCE$. Wajarlah bila anggapan itu melahirkan kesulitan, berapakah panjang jari-jari dari lingkaran yang memuat busur itu? Bukankah luas daerah yang diraster itu adalah selisih dari luas daerah layang-layang oleh luas daerah dari kedua tembereng (yang kongruen)?
Satu hal yang (mungkin) terlupakan bahwa di dalam suatu naskah soal, suatu gambar "dihalalkan" untuk ditampilkan tidak dalam ukuran (skala) yang sebenarnya. Penulis soal tersebut, sebenarnya, telah memberikan "alamat" dengan tidak menghubungkan titik $B$ dan $D$ (juga $A$ dan $C$) selaku kedua diagonalnya.
Adalah Bapak Bob Prabantoro yang menunjukkan kepada saya tentang hal yang tepat bahwa kedua busur itu masing-masing memotong diagonal $\overline{BD}$. Dengan demikian kedua busur itu dapat digambarkan dengan tepat pula, meskipun tetap menggunakan skala demi menghemat bidang lukisan. Nah, hal yang berkenaan dengan paragraf terakhir itulah yang akan menjadi kupasan kita kali ini, yaitu menggambar dengan tepat layang-layang tersebut termasuk kedua busur dan daerah yang dirasternya.

Koordinat-koordinat

Kita mulai bekerja dalam lingkup perintah gambar TikZ (tikzpicture). Berdasarkan ukuran yang diberikan oleh soal, dapat kita tetapkan ukuran dalam skala $1:5$, sehingga $AC=BC=5\,\textrm{cm}$, $AE=3.4\,\textrm{cm}$, dan $EC=1.6\,\textrm{cm}$. Dengan demikian dapat kita tetapkan
\coordinate[label=left:$A$](A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$](B) at (3.4,-4.8);
\coordinate[label=right:$C$](C) at (5,0);
\coordinate[label=above:$D$](D) at (3.4,4.8);
\coordinate(E) at (3.4,0);
Tentu, dengan mudah kita buat layang-layang itu oleh
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
dan hasilnya diperlihatkan oleh Gambar 1 pada dokumen terlampir pada bagian bawah tulisan ini.

Melukis Busur $BC$

Sekarang kita menghadapi masalah. Bagaimana melukis busur $BC$? Di manakah pusat dari lingkaran yang memuat busur ini? Berapakah nilai jari-jarinya?
Pusat lingkaran itu terletak pada perpotongan dari dua diagonal persegi dengan $BC$ sebagai salah satu sisinya. Untuk menemukan titik pusat itu (misalkan sebagai $O$), dari $B$ kita tetapkan koordinat (misalkan) $F$ sejarak $5\,\textrm{cm}$ demikian sehingga $\overline{FB}$ tegak lurus $\overline{BC}$ di $B$. Kita memerlukan kepustakaan calc untuk hal ini.
\coordinate (F) at ($(B)!-5cm!90:(C)$);
Dengan cara serupa, dari $C$ kita tetapkan koordinat (misalkan) $G$ sejarak $5\,\textrm{cm}$ demikian sehingga $\overline{GC}$ tegak lurus $\overline{BC}$ di $C$.
\coordinate (G) at ($(C)!5cm!90:(B)$);
Dengan menggunakan garis putus-putus yang agak rapat, dapat kita tunjukkan persegi $BFGC$ oleh
\draw[densely dashed,Burlywood4] (B)--(F)--(G)--(C);
Lalu, bagaimana menggambar busur $BC$ itu? Perhatikan bahwa kita akan melukis busur itu dari $B$ ke $C$, sedangkan suatu busur diperintahkan oleh
arc(sudut awal:sudut akhir:jari-jari)
Berapa nilai sudut awal, sudut akhir, dan jari-jari itu?Lebih dulu kita tetapkan pusat lingkarannya, sebagai perpotongan dari $\overline{BG}$ dan $\overline{CF}$. Untuk hal ini kita memerlukan kepustakaan intersections.
\coordinate (F) at ($(B)!-5cm!90:(C)$);
\coordinate (G) at ($(C)!5cm!90:(B)$);
\path[name path=g1] (B)--(G);
\path[name path=g2] (C)--(F);
\path [name intersections={of = g1 and g2, by={O}}];
Untuk mengetahui nilai dari kedua sudut tadi, pandanglah $O$ sebagai "pusat koordinat" baru. Pada Gambar 2 dalam dokumen terlampir, perhatikan dua garis yang berpotongan tegak lurus di $O$. Untuk membuat tanda sudut siku harus didukung oleh kepustakaan angles beserta oleh makro berikut ini
\def\siku[size=#1](#2,#3,#4){%%
   \draw[help lines] ($(#3)!#1!(#2)$) -- 
         ($($(#3)!#1!(#2)$)!#1!90:(#2)$) --
         ($(#3)!#1!(#4)$);}
dan dalam penggunaannya dinyatakan oleh (misalnya)
\siku[size=6pt](T3,O,T2)
Dengan berbantukan GeoGebra, kita temukan nilai sudut awal yang dimaksud adalah $\measuredangle{POB}=206.57^\circ$ dan nilai sudut akhir adalah $\measuredangle{POB}=116.57^\circ$. Sedangkan panjang jari-jarinya tentu saja setengah dari panjang diagonalnya yang dapat dihitung sebagai $OB=0.5\times5\sqrt{2}\approx3.58\,\textrm{cm}$ (berdasarkan GeoGebra). Dengan demikian busur $BC$ kita buat oleh perintah
\draw[thick] (B) arc(206.57:116.57:3.58);
dan hasilnya diperlihatkan oleh Gambar 2 pada dokumen terlampir pada bagian bawah tulisan ini. 


Melukis Busur $CD$ dan Lukisan Selengkapnya

Dengan tahapan serupa dengan cara untuk melukis busur $BC$, kita lakukan sekali lagi untuk melukis busur $CD$ dan hasilnya akan tampak seperti ditunjukkan oleh Gambar 3 pada dokumen terlampir pada bagian bawah tulisan ini. 
Sekarang, bagaimana cara menampilkan hasil seperti ditunjukkan oleh Gambar 4? 
Hapus saja perintah untuk membuat noktah pada $O$ dan $O_2$, kemudian ubah perintah \draw (pada beberapa unsur pendukung itu) menjadi perintah \path. Selain itu, ini penting dalam rangka "penghematan", agar bidang gambar tercakup dan tidak melebar (oleh daerah persegi) maka berikan perintah (misalnya)
\clip (-.5,-5.5) rectangle (5.5,5.5);
Kemudian, untuk meraster, kita memerlukan kepustakaan patterns dan perintah untuk itu (oleh \path) diletakkan lebih dulu sebelum perintah \draw agar tidak menimpa lukisan ruas-ruas garisnya. 
Untuk memperoleh hasil seperti ditunjukkan oleh Gambar 4, silakan saling dan kompilasi pengkodean berikut ini.
\begin{tikzpicture}[scale=.8,line join=round]
\clip (-.5,-5.5) rectangle (5.5,5.5);
\coordinate[label=left:$A$](A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$](B) at (3.4,-4.8);
\coordinate[label=right:$C$](C) at (5,0);
\coordinate[label=above:$D$](D) at (3.4,4.8);
\coordinate(E) at (3.4,0);

\coordinate (F) at ($(C)!-5cm!90:(D)$);
\coordinate (G) at ($(D)!5cm!90:(C)$);
\path[name path=g1] (C)--(G);
\path[name path=g2] (D)--(F);
\path [name intersections={of = g2 and g1, by={O}}];

\coordinate (M) at ($(C)!5cm!90:(B)$);
\coordinate (N) at ($(B)!-5cm!90:(C)$);
\path[name path=g3] (C)--(N);
\path[name path=g4] (B)--(M);
\path [name intersections={of = g3 and g4, by={O2}}];

\path[pattern=crosshatch dots,pattern color=Tan4] (A)--(B) arc(206.57:116.57:3.58) arc(243.43:153.43:3.58)--cycle;

\draw[thick] (B) arc(206.57:116.57:3.58) arc(243.43:153.43:3.58) ;

\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;
\end{tikzpicture}


Penutup


Dalam hal ini penulis masih memerlukan dan menggunakan GeoGebra, hal yang sebenarnya tidak perlu terjadi bila penulis sudah mampu melakukan perhitungan dengan menggunakan pgfmath.Demikian semoga bermanfaat.

$\square$ Adjie Gumarang Pujakelana 2017



3 comments:

  1. Ulasan yang mantap dan membelajarkan.

    ReplyDelete
  2. Mohon maaf Pak, berdasarkan rumusan butir soal atau gambar dalam soal, tidak ada petunjuk yang menyatakan bahwa sudut pusat busur BC dan CD adalah siku-siku yang berasal dari pembentukan persegi dengan salah satu sisinya BC atau CD. Menurut saya, hal itu tidak dapat ditetapkan, sebab kurangnya informasi dari naskah soal. Dengan demikian, sudut pusat busur BC atau CD bisa sama bisa berbeda, bisa lebih dari 90 derajat bisa juga kurang dari 90 derajat.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Terima kasih, Pak. Silakan coba digambarkan, ya.

      Delete

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...