Thursday, October 8, 2015

Pencarian Akar-akar Persamaan Kuadrat

Tulisan kali ini merujuk pada Nasution, Andi Hakim dkk. 1993. Matematika 1 untuk Sekolah Menengah Umum Kelas 1. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, seperti tampak pada gambar di samping. Pada halaman 54 tertulis:
"Dalam hal persamaan kuadratnya berbentuk $ax^2+bx+c=0$, dan koefisien $a$, $b$, dan $c$ merupakan bilangan bulat, maka salah satu tahap awal untuk menyelesaikannya ialah dengan mencari dua faktor dari $ac$ yang jumlahnya sama dengan $b$ agar persamaan kuadrat tersebut dapat ditulis sebagai hasil kali dua faktor ...."
Ya, yang dimaksud adalah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan.
Memfaktorkan persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ berarti mengubah bentuknya menjadi $p(x - x_1)(x - x_2)=0$, dengan $p\neq0$Untuk membentuk pemfaktoran itu, kita cari dua bilangan $m$ dan $n$ yang hasil kalinya sama dengan nilai $a.c$ dan jumlahnya sama dengan nilai $b$. (Selanjutnya kita dapat menemukan bahwa kedua akar persamaan kuadrat itu adalah $x_1=-\frac{m}{a}$ dan $x_2=-\frac{n}{a}$)

Nah, sekarang akan kita tunjukkan pencarian tersebut secara visual. Dalam hal ini kita gunakan paket tikz. Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan $2x^2-3x-2=0$ dengan cara memfaktorkan.
Saya tulis penyelesaiannya dalam environment minipage dan paket adjustbox agar tampak seperti di atas.
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.5\textwidth}
...
\end{minipage}}\hfill
%
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.4\textwidth}
...
\end{minipage}}
Pada bagian kiri, visualisasi faktor dari $ac$, pada dasarnya hanya memerlukan penetapan koordinat (dengan "coba-coba" hingga hasilnya tampak baik) untuk menggambar lingkaran dengan jari-jari tertentu sehingga dapat memuat node berupa huruf ($m$ dan $n$) dan bilangan ($-4$ dan $-3$) pada koordinat tersebut.
\draw (0,0) circle (.35cm) node {$m$};
\draw (0,-1) circle (.35cm) node {$n$};
\draw (-1.85,-.5) circle (.35cm) node {$-4$};
\draw (0,-2.2) circle (.35cm) node {$-3$};
Kita juga menggunakan perintah node untuk menempatkan beberapa unsur lainnya.
\node[left] at (-2.2,-.5) {$a\cdot c=2\cdot(-2)=$};
\node at (-.5,-.5) {$\times$};
\node[left] at (-0.3,-2.2) {$b=$};
Kemudian kita memilih koordinat yang pas untuk menggambar dua ruas garis yang menghubungkan ketiga lingkaran.
\draw (-1.5,-.5) -- (-0.3,-.15) (-1.5,-.5) -- (-0.3,-.85);
Terakhir kita buat ruas garis yang menyertakan tanda $+$ di kanannya.
\draw (-.5,-1.6) -- (.5,-1.6) node[right] {$+$} ;
Demikianlah berikut ini pengkodean selengkapnya untuk contoh di atas.
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Dari $2x^2-3x-2=0$ kita ketahui $a = 2$,  $b=-3$, $c =-2$, sehingga

\begin{tikzpicture}[thick]
\draw[] (0,0) circle (.35cm) node[] {$m$};
\draw[] (0,-1) circle (.35cm) node[] {$n$};
\draw[] (-1.5,-.5) -- (-0.3,-.15) (-1.5,-.5) -- (-0.3,-.85);
\draw[] (-1.85,-.5) circle (.35cm) node[] {$-4$};
\node[left] at (-2.2,-.5) {$a\cdot c=2\cdot(-2)=$};
\node[] at (-.5,-.5) {$\times$};
\draw[] (-.5,-1.6) -- (.5,-1.6) node[right] {$+$} ;
\draw[] (0,-2.2) circle (.35cm) node[] {$-3$};
\node[left] at (-0.3,-2.2) {$b=$};
\end{tikzpicture}

Nilai $m$ dan $n$ yang tepat adalah $m=-4$ dan $n=1$
\end{minipage}}\hfill
%
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}{0.4\textwidth}
Dengan memfaktorkan diperoleh\\[.5em]
$\begin{aligned}[t]
2x^2-3x-2 &= 0\\
2x^2-4x+1x-2 &= 0\\
2x(x-2)+1(x-2) &= 0\\
(x-2)(2x+1) &= 0\\
x-2=0\:\: &\textrm{atau}\:\: 2x+1=0\\
x=2\:\: &\textrm{atau}\:\: 2x=-1\\
x=2\:\: &\textrm{atau}\:\: x=-\frac{1}{2}
\end{aligned}$
\end{minipage}}
Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015



No comments:

Post a Comment

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...