Thursday, May 14, 2015

Bentuk Akar Secara Geometris

Barangkali sudah kita maklumi bahwa di antara bilangan-bilangan irasional adalah bilangan bentuk akar. Sebagai dasar, bentuk akar itu adalah akar kuadrat dari suatu bilangan, yaitu $\small\sqrt{2}$, $\small\sqrt{3}$, $\small\sqrt{5}$, $\small\cdots$ dan seterusnya. Bila kita menekan tombol kalkulator untuk menemukan nilai dari bentuk-bentuk akar kuadrat tersebut, maka diperoleh
$\small\sqrt{2}=1,4142135623730950488016887242097\ldots$, 
$\small\sqrt{3}=1,7320508075688772935274463415059\ldots$, 
$\small\sqrt{5}=2,2360679774997896964091736687313\ldots$, 
$\small\cdots$
Tampak bahwa bila bentuk akar itu dinyatakan dalam bentuk desimal, maka bilangan itu memuat angka-angka di belakang koma yang tanpa batas dan tidak memuat sejumlah tertentu angka yang berulang. Jadi nilai dari tiap bentuk akar itu hanya berupa pendekatan (sekian angka di belakang koma) saja.

Lalu, bila kita diminta menggambar ruas garis tepat sepanjang (misalnya) $\small\sqrt{2}$ cm, seberapa panjangkah itu?
Nah, dari kitab Charming Proofs, A Journey into Elegant Mathematics karya Claudi Alsina dan Roger B. Nelsen dan diterbitkan oleh The Mathematical Association of America tahun 2010, pada halaman 122 saya menemukan gambar berikut ini.

Gambar di samping adalah salah satu bentuk terapan dari Dalil Satu Persegi yang menunjukkan $\small\sqrt{n}$ secara berulang oleh busur lingkaran berpusat di $\small(0,0)$ dan berjari-jari $\small\sqrt{n+1}$ dari titik $\small(\sqrt{n},1)$, yang digambar searah putar jarum jam.

Gambar itulah yang akan diulas kali ini. Kembali saya gunakan paket tkz-euclide untuk hal ini. "Kesulitannya" adalah menggambar busur searah putar jarum jam, karena (prosedur bakunya justru sebaliknya) saya harus menetapkan lebih dulu titik potong busur itu pada sumbu $\small x$, yang tiada lain mewakili bentuk akar yang dicari itu.

Inilah dokumen gambar yang saya buat.

Karena sumbu koordinat akan diperlihatkan
\tkzAxeXY
maka saya perlu menetapkan batasan nilai absis dan ordinatnya.
\tkzInit[xmax=2.5, ymax=1.5]
Demikian pula dengan noktah untuk titik, saya tetapkan
\tkzSetUpPoint[shape=circle,color=IndianRed,size=3mm,fill=Sepia,size=3mm]
dengan beberapa pewarnaan saya tetapkan dalam preamble dengan menyertakan paket xcolor.

Berikutnya saya tetapkan empat koordinat yang membentuk satu persegi.
\tkzDefPoint(0,0){O}
\tkzDefPoint(1,1){A}
\tkzDefPoint(0,1){B}
\tkzDefPoint(1,0){C}
Sedangkan untuk mewakili sumbu $\small x$ saya perlu menetapkan koordinat
\tkzDefPoint(3,0){D}
Kemudian saya menggambar noktah titik pembentuk satu persegi, menamai dua koordinat, dan menggambar wakil dari garis $\small y=1$.
\tkzDrawPoints(O,A,B,C)
\tkzLabelPoint[above](A){$A$}
\tkzLabelPoint[above right](B){$T$}
\tkzDrawLine[add= 2 and 0,color=gray!50](A,B)
Sekarang saya mulai memikirkan titik potong busur berjari-jari $\small\overline{OA}$ pada sumbu $\small x$. Tidak dapat dilakukan melalui busur! Berarti saya harus menetapkan lingkaran (tanpa menggambarnya) berjari-jari $\small\overline{OA}$, kemudian menetapkan titik potongnya itu.
\tkzCalcLength(O,A) %menetapkan panjang jari-jari
\tkzGetLength{radius} %menetapkan jari-jari
\tkzInterLC[R](O,D)(O,\radius pt)\tkzGetSecondPoint{A1}
Sekarang dapat saya gambarkan busur pertama. Lebih dulu saya gambar titik potong itu $\small(A_1)$, menamainya, barulah menggambar busurnya.
\tkzDrawPoint(A1)
\tkzLabelPoint[below](A1){$\ds\sqrt{2}$}
\tkzDrawArc[varying radius,color=biruku](O,A1)(A)
Selanjutnya menggambar jari-jari $\small\overline{OA}$ dan garis tinggi $\small\overline{CA}$.
\tkzDrawSegment[color=gray!50](A,C)
\tkzDrawSegment[color=biruku!50,dashed](O,A)
Untuk menggambar busur kedua, kembali saya memerlukan dua titik. Salah satunya adalah titik potong garis tinggi dari $\small A_1$ terhadap garis $\small y=1$. Saya tetapkan titik potong ini sebagai $\small A_2$, mengambar noktahnya, menamainya, kemudian mengambar garis tingginya.
\tkzDefLine[orthogonal=through A1](O,D) 
\tkzInterLL(A,B)(A1,tkzPointResult)\tkzGetPoint{A2} 
\tkzDrawPoints(A2) \tkzLabelPoint[above](A2){$B$}
\tkzDrawSegment[color=gray!50,opacity=.8](A1,A2)
Langkah berikutnya adalah pengulangan langkah, yaitu saya harus menetapkan lingkaran (tanpa menggambarnya) berjari-jari $\small\overline{OB}$, kemudian menetapkan titik potongnya pada sumbu $\small x$. Titik potong ini saya tetapkan sebagai $\small A_3$, mengambar noktahnya, menamainya, menggambar jari-jari $\small\overline{OB}$, kemudian mengambar busurnya.
\tkzCalcLength(O,A2) %menetapkan panjang jari-jari
\tkzGetLength{radius} %menetapkan jari-jari
\tkzInterLC[R](O,D)(O,\radius pt)\tkzGetSecondPoint{A3} \tkzDrawPoint(A3)
\tkzLabelPoint[below](A3){$\ds\sqrt{3}$}
\tkzDrawSegment[color=biruku!50,dashed](O,A2)
\tkzDrawArc[varying radius,color=biruku](O,A3)(A2)
Demikianlah seterusnya. Berikut ini sisa pengkodean berulang untuk melengkapi gambar pada contoh dokumen di atas.
\tkzDefLine[orthogonal=through A3](O,D) 
\tkzInterLL(A,B)(A3,tkzPointResult)\tkzGetPoint{A4} 
\tkzDrawPoints(A4) \tkzLabelPoint[above](A4){$C$}
\tkzDrawSegment[color=gray!50,opacity=.8](A3,A4)
%-------------------------------------------------------
\tkzCalcLength(O,A4) %menetapkan panjang jari-jari
\tkzGetLength{radius} %menetapkan jari-jari
\tkzInterLC[R](O,D)(O,\radius pt)\tkzGetSecondPoint{A5} \tkzDrawPoint(A5)

\tkzDrawSegment[color=biruku!50,dashed](O,A4)
\tkzDrawArc[varying radius,color=biruku](O,A5)(A4)

\tkzDefLine[orthogonal=through A5](O,D) 
\tkzInterLL(A,B)(A5,tkzPointResult)\tkzGetPoint{A6} 
\tkzDrawPoints(A6) \tkzLabelPoint[above](A6){$D$}
\tkzDrawSegment[color=gray!50,opacity=.8](A5,A6)
%-------------------------------------------------------
\tkzCalcLength(O,A6) %menetapkan panjang jari-jari
\tkzGetLength{radius} %menetapkan jari-jari
\tkzInterLC[R](O,D)(O,\radius pt)\tkzGetSecondPoint{A7} \tkzDrawPoint(A7)
\tkzLabelPoint[below](A7){$\ds\sqrt{5}$}

\tkzDrawSegment[color=biruku!50,dashed](O,A6)
\tkzDrawArc[varying radius,color=biruku](O,A7)(A6)

\tkzDefLine[orthogonal=through A7](O,D) 
\tkzInterLL(A,B)(A7,tkzPointResult)\tkzGetPoint{A8} 
\tkzDrawPoints(A8) \tkzLabelPoint[above](A8){$E$}
\tkzDrawSegment[color=gray!50,opacity=.8](A7,A8)

\tkzDrawSegment[color=biruku!50,dashed](O,A8)
\tkzCalcLength(O,A8) %menetapkan panjang jari-jari
\tkzGetLength{radius} %menetapkan jari-jari
\tkzInterLC[R](O,D)(O,\radius pt)\tkzGetSecondPoint{A9} 
\tkzLabelPoint[below right,yshift=-.2cm](A9){\ldots}

Dokumen di atas saya susun (compile) dalam jaringan melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX
Demikian semoga bermanfaat. 

Adjie Gumarang Pujakelana 2015

No comments:

Post a Comment

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...