Tuesday, March 24, 2015

Mengarsir Daerah di antara Dua Persegi dan Perhitungannya

Perhatikan gambar di samping ini. Saya akan menunjukkan cara untuk menggambarnya beserta perhitungan yang berkaitan dengan gambar tersebut.
Masalah ini bersumber dari brilliant.org yang menyertakan gambar tersebut dengan pertanyaan
The figure above shows two overlapped squares of side 1. Find the shaded area.
Pertanyaan ini sudah saya jawab pada situs tersebut. Kali ini akan saya tunjukkan pekerjaan saya itu dalam $\small\LaTeX$. Saya awali pada bagian preamble. Saya pilih mathpazo untuk tulisan matematika dan utopia untuk tulisan teks. Untuk sintaks matematika selengkapnya saya gunakan amsmath.
\usepackage{mathpazo}
\renewcommand{\rmdefault}{put}
\usepackage{amsmath}
Kemudian, untuk menempatkan tulisan dalam minipage saya siapkan adjustbox dan untuk pewarnaan saya gunakan xcolor.
\usepackage{adjustbox}
\usepackage[dvipsnames,svgnames]{xcolor}
Untuk menggambar bangun tersebut saya gunakan tikz dan tkz-euclide.
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetkzobj{all}
Saya tempatkan titik $A$ di $(0,0)$ beserta penamaannya sebagai berikut.
\draw[thick] (0,0) coordinate (A) node[left] {$A$};
Untuk menggambar persegi $ABCD$ kita akan berikan perintah
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle; 
Dalam hal ini penetapan keempat titik itu saya satukan menjadi
\draw[thick] (0,0) coordinate (A) node[left] {$A$} -- (2,0) coordinate (B) node[right] {$B$} -- (2,2) coordinate (C) node[right] {$C$}--(0,2) coordinate (D) node[left] {$D$} --cycle; 
Untuk mendapatkan koordinat titik $E$, lebih dulu saya gunakan GeoGebra, kemudian saya gambarkan persegi $DEGH$ dan ruas garis $EB$ dengan warna tersendiri.
\draw[thick,DarkSlateGray] (1.41,0.59) coordinate (E) node[below,black] {$E$}--(2,1.17) coordinate (F) node[right,black] {$F$}--(2.83,2) coordinate (G) node[right,black] {$G$}--(1.41,3.41) coordinate (H) node[above,black] {$H$}--(D)--cycle (E)--(B);
Karena koordinat titik $F$ sudah saya tetapkan dalam perintah di atas, maka saya gambarkan pengarsiran daerah $CDEF$ sebagai berikut.
\path[fill=SlateGray,opacity=.5] (C)--(D)--(E)--(F)--cycle;
Kenapa perintahnya \path? Karena saya tidak lagi menggambarkan garisnya, hanya mewarnai daerahnya saja.

Berikutnya saya akan menandai semua sisi (yang sama panjang) dari kedua persegi. Di sinilah saya gunakan perintah dari tkz-euclide.
\tkzMarkSegments[mark=|,size=3pt,color=gray](A,B B,C C,D D,A E,G G,H H,D D,E)
Perhatikan pula bahwa ruas garis $EB$ dan $EF$ sama panjang, sehingga saya tandai
\tkzMarkSegments[mark=||,size=3pt,color=gray](B,E E,F)
Perlu diketahui, perintah dalam tkz-euclide tidak perlu di akhiri dengan semicolon $;$.
Terakhir, saya menunjukkan bahwa panjang setiap sisi persegi adalah $1$ satuan dengan
\draw[|-|,gray] (0,-.15)--(2,-.15) node[midway,below,black] {1};
Nah, berikut ini pengkodean selengkapnya.
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[margin=2cm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[indonesian]{babel} 
\usepackage{mathpazo}
\renewcommand{\rmdefault}{put}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{adjustbox}
\usepackage[dvipsnames,svgnames]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetkzobj{all}

\begin{document}

\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.5] 
\draw[thick] (0,0) coordinate (A) node[left] {$A$} -- (2,0) coordinate (B) node[right] {$B$} -- (2,2) coordinate (C) node[right] {$C$}--(0,2) coordinate (D) node[left] {$D$} --cycle;  
\draw[thick,DarkSlateGray] (1.41,0.59) coordinate (E) node[below,black] {$E$}--(2,1.17) coordinate (F) node[right,black] {$F$}--(2.83,2) coordinate (G) node[right,black] {$G$}--(1.41,3.41) coordinate (H) node[above,black] {$H$}--(D)--cycle (E)--(B);
\path[fill=SlateGray,opacity=.5] (C)--(D)--(E)--(F)--cycle;
\tkzMarkSegments[mark=|,size=3pt,color=gray](A,B B,C C,D D,A E,G G,H H,D D,E)
\tkzMarkSegments[mark=||,size=3pt,color=gray](B,E E,F)
\draw[|-|,gray] (0,-.15)--(2,-.15) node[midway,below,black] {1};
\end{tikzpicture}  
\end{minipage}}\hfill

\medskip
\adjustbox{valign=t}{\begin{minipage}[t]{.9\textwidth}
\begin{align*}
\text{Luas daerah}\ CDEF&= \text{luas daerah}\ ABCD-\left(\text{luas daerah}\ ABD+\text{luas daerah}\ BEF\right)\\
&= 1^2-\left(\frac{1}{2}\cdot1\cdot1+\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt{2}-1\right)\cdot\left(\sqrt{2}-1\right)\right)\\
&= 1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(2-2\sqrt{2}+1\right)\right)\\
&= 1-\left(\frac{1}{2}+1-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)\\
&= 1-\left(1+1-\sqrt{2}\right)\\
&= 1-2+\sqrt{2}\\
&= \sqrt{2}-1
\end{align*}
\end{minipage}}\hfill

\end{document} 
Tentu kita juga akan mengingat bahwa panjang diagonal $BD$ pada persegi $ABCD$ dengan panjang sisi $1$ satuan ditentukan oleh
\begin{align}
BD^2&=AB^2+AD^2\\
&=1^2+1^2\\
&=1+1\\
&=2
\end{align}
sehingga $BD=\sqrt{2}$.

Demikianlah dokumen yang telah saya kemas dengan lebih rapi saya sertakan di bawah ini. Dokumen ini saya susun melalui Online LaTeX Editor ShareLaTeX
Demikian semoga bermanfaat.

Adjie Gumarang Pujakelana 2015



No comments:

Post a Comment

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...